La relatività ristretta ha trasportato il mondo reale in un sistema quadridimensionale nel quale spazio e tempo si
comportano in modo diverso rispetto a quanto dettato dalla fisica classica.
Un corpo non può essere accelerato all'infinito, ma trova un limite coincidente con la velocità della luce nel vuoto.
Ne consegue che la prima e la seconda legge di Newton sebbene riviste e corrette mantengono la loro validità.
L'inerzia sopravvive anche in un mondo spaziotemporale.
Il principio di azione e reazione risulta invece profondamente ridimensionato dall'introduzione della relatività nel
concetto di simultaneità. L'interazione tra due corpi con simultaneo scambio di energia e moto può avvenire sono per
contatto, ossia se l'azione avviene in un medesimo luogo comune alle particelle coinvolte.
simultanea tra due corpi a distanza si scontra con il concetto.
Per trovare coerenza a quanto sopra si è andata definendo una nuova meccanica, quella relativistica di cui la meccanica
classica costituisce una semplificazione adottabile per velocità relative lontane da c. Sono state quindi
riviste tutte le formule che coinvolgono le grandezze spaziali e temporali, la velocità e l'accelerazione come le
equazioni della quantità di moto, dell'energia cinetica e della forza.
La quantità di moto o impulso di una particella è una funzione definita sulla massa a riposo m0 della particella (ossia misurata nel sistema di riferimento comovente con questa) e dalla variabile velocità della particella. In meccanica classica è definita dalla funzione:
ρ = m0u
Riprendiamo la definizione di quadrivelocità e applichiamo su di essa la funzione della quantità di moto. Per confrontare il comportamento della funzione rispetto alla sua notazione classica limitiamo l'utilizzo della quadrivelocità alla sola parte spaziale. definiamo quindi una quantità di moto p esclusivamente spaziale, che chiamiamo trimpulso. Indichiamo invece con P maiuscola il quadrimpulso.
Ui = γui
pi = m0γui
Nella funzione della quantità di moto si è introdotto il fattore γ. Questo può essere matematicamente associato a
u come a m0, portando a due interpretazioni alternative.
Definiamo con il termine di 3-quantità di moto relativistica la funzione interpretata come prodotto della massa della
particella per la sua velocità, il tutto corretto dal fattore di Lorentz.
pi = γ(u)m0ui
pi = m0Ui
pi = γ(u)ρ
Definiamo con m la massa relativistica la massa a riposo corretta dal fattore di Lorentz. In questa interpretazione, come avviene per le lunghezze e il tempo, la massa subisce una variazione (crescente) a seguito di un cambio di coordinate inerziali. Adottando la massa relativistica la formula della quantità di moto rimane invariata.
m(u) = m0γ(u)
pi = mui
Diamo dimostrazione a quanto sopra considerando un sistema di riferimento inerziale R e in esso una particella in quiete avente massa m0 e velocità u=0. Scriviamo la quantità di moto della particella.
pRi = m0u = 0
Osserviamo la particella anche dal sistema di riferimento inerziale R', in moto rispetto a R con
velocità v.
In ottica galileiana il sistema R misura il moto della particella come nullo mentre in R' si rileva un
moto relativo di velocità u=−v.
pRi = m0u ≠ 0
In ottica relativistica applichiamo le trasformazioni di Lorentz nel passaggio di coordinate da R a R'. Ricordiamo la formula di trasformazione della velocità lungo la direzione di moto relativo dei due sistemi.
ux − v
ux' = ——————————
1 − uv/c2
Applichiamo le formule all'equazione della quantità di moto ricordando che v=u e che misurando R' la massa da applicate è quella relativistica.
u
pR'i = m0 ————————— = m0γ2u'
1 − v2/c2
L'impiego della formula di composizione delle velocità ci ha portato ad utilizzare u'=dx'/dt' nella funzione della quantità di moto. Se volessimo invece applicare u=dx'/dτ dovremmo considerare la relazione t=γτ. Dividendo quindi per γ ritroviamo la formula canonica della quantità di moto inerziale.
pR'i = m0γu
Da quanto sopra possiamo estendere la notazione al quadrimpulso che differisce a se conda che si utilizzi l'interpretazione della massa relativistica o della quadrivelocità relativistica .
P = m0γu
P = mu
P = m0U
In quanto quadrivettore possiamo rappresentarlo come somma del vettore impulso temporale e del trimpulso spaziale. Essendo quest'ultimo, in aderenza alla metrica dello spaziotempo, di segno negativo ci troviamo di fronte a una differenza.
P = P0 + (−pi)
Avendo riscontrato che U2=c2 è un invariante relativistica, possiamo desumere che lo sia anche P2 in quanto prodotto di costanti.
P2 = m02U2 = m02c2
Dalla meccanica classica sappiamo che dalla quantità di moto di una particella è possibile ricavare il lavoro compiuto da questa per via del suo moto, ossia l'energia cinetica.
ρ = m0u
ρ = m0s/t
uρ = m0su/t
uρ = m0sa
uρ = Fs
Nell'applicare questi passaggi allo spazio di Minkowski occorre ricordare che in questo spazio la quantità di moto è definita da un quadrimpulso che non è solo cinetico, ma anche temporale. Abbiamo inoltre verificato come la quadrivelocità definita nello spaziotempo abbia un valore invariante pari a c. Il riformulare l'espressione dell'energia definita partendo dalla sua quadrivelocità c significa andare ad esprimere un'energia totale e non solo cinetica.
E = cP = m0c2γ(u)
Utilizzando la notazione della massa inerziale otteniamo l'equazione della relatività ristretta di Einstein.
E = mc2
Essendo sia m che c definiti positivi anche l'energia quì individuata è positiva. Essa è anche non nulla. L'unico termine variabile della funzione è u, la velocità della particella nello spazio. Anche ponendo questa pari a zero si ha γ=1. Con u=0 la particella si muove solo nel tempo. Ne consegue che il valore energetico espresso in questo caso non può essere cinetico. L'energia non nulla posseduta dalla particella è quindi dovuta alla sola presenza della massa e per questo prende il nome di energia di massa.
E0 = cP0 = m0c2
Il fattore c2 assume il ruolo di costante di conversione tra massa e energia a riposo.
Osserviamo come l'energia totale è calcolata sul quadrivettore mentre l'energia di massa sul vettore temporale. Le due
differiscono quindi per il trivettore spaziale. A dimostrazione ritorniamo al caso generico con γ(u)>1 e
dato che m0c sono termini costanti, riferiti alla particella, studiamo la sola funzione
γ(u) che possiamo sviluppare in una serie di Taylor.
γ(u) = (1 − β2)-1/2 = (1 + z)a
(1 + z)a = 1 + az + a(a-1)z2 + a(a-2)z3 + ...
γ(u) = 1 + (1/2)(β2) + (3/8)(β4) + (5/16)(β4) + ...
Sostituiamo la serie a γ(u) nella formula dell'energia, fermandosi al secondo termine, ossia a valori di β relativi a velocità molto inferiori a c.
E ≈ m0c2 + (1/2)(m0c2)(u2/c2)
E ≈ m0c2 + (1/2)(m0u2)
Notiamo come il secondo termine coincida con l'energia cinetica nella meccanica classica. La cosa è coerente avendo
arrestato la serie di Taylor ai primi termini. Quindi possiamo definire E l'energia totale della particella,
della quale l'energia cinetica e quella di massa sono le componenti.
L'energia totale può essere anche scomposta nella componente temporale E0 e spaziale (o cinetica) T.
E = E0 + T
E = cP0 + cpi
E = m0γc2 + m0γcu
Se pensiamo a una particella priva di moto cinetico, quindi γ=1, troviamo che l'energia da essa posseduta è solo temporale e per questo viene detta energia a riposo. Si osservi come essa coincida con l'energia di massa. Le due definizioni possono quindi essere assunte come alternative.
E0 = m0c2
La presenza di due componenti dell'energia interessa la legge di conservazione dell'energia in un sistema chiuso.
Riguarda l'energia totale. Sono quindi permessi passaggi a saldo zero dall'energia cinetica a quella di massa e viceversa.
Calcoliamo l'intervallo che l'energia totale di una particella può assumere. L'energia di massa definita da costanti
si pone come limite minimo non nullo di energia. L'energia cinetica dovuta al moto spaziale della particella si va a
sommare a questa soglia. Dato che per u l'intervallo di valori assumibili è [0,c) per γ(u) abbiamo
[1,∞). L'energia tende a infinito per u⟶c. Si tratta di un'ulteriore verifica dell'invalicabilità di
questa velocità. Solo applicando una quantità di energia infinita (cosa impossibile) una particella raggiungerebbe la
velocità c.
Riprendendo la notazione di quadrimpulso come differenza tra impulso temporale e trimpulso spaziale possiamo sviluppare una relazione tra impulso e energia.
P = P0 + (−pi)
Sostituiamo questa operazione vettoriale nella corrispondente operazione pitagorica.
P2 = (P0)2 + (−pi)2
Sostituiamo i termini con i corrispondenti valori energetici.
E2/c2 = E02/c2 + (pi)2
E2 = E02 + c2(pi)2
E2 = m02c4 + c2(pi)2
La rilevanza di questa relazione è che ammette la presenza di energia anche nel caso di particelle di massa nulla.
E = cpi
Applichiamo questa risultanza all'equazione del trimpulso relativistico, ricordando che E=mc2
pi = mui
pi = (E/c2)ui
E = (pic2)/ui
L'equazione viene ricondotta all'energia in assenza di massa se si pone u=c. Una particella priva di massa ha energia, ma si deve muovere a velocità luminare. Ne è un esempio il fotone.
Il principio di inerzia si mantiene anche nello spazio tempo se vale l'invarianza della quantità di moto relativistica, ossia il permanere del moto rettilineo nello spaziotempo in assenza di forze esterne.
dP/dτ = 0
La condizione è garantita se assumiamo questa relazione come definizione della quadriforza. L'assenza di forza annulla la relazione e garantisce il principio di inerzia. La definizione di quadriforza o forza di Minkowski non è quindi derivata dai principi della meccanica, ma postulata il teorema della quantità di moto.
dP/dτ = F
Coerentemente con la teoria classica si pone per definizione che la quadriforza e la quadriaccelerazione siano due vettori condividenti la stessa direzione e lo stesso verso. L'accelerazione è infatti definita come risultanza della forza applicata a un'unità di massa e quindi ne eredita i caratteri direzionali (una particella in quiete se soggetta a una forza accelera nella direzione imposta da questa). Vale quindi anche nello spaziotempo la relazione:
F = m0A
Questa relazione coinvolge i quadrivettori. Non dobbiamo dedurre che valga anche per i trivettori spaziali ossia che
f=m0a.
Verifichiamo questa affermazione. La quadriforza agisce sia sul tempo che sullo spazio. Separiamo le due componenti.
F0 = (dP0/dt)(dt/dτ) = (dmc/dt)γ(u)
Fi = (dPi/dt)(dt/dτ) = (dpi/dt)γ(u) = fiγ(u)
i = 1,2,3
Abbiamo indicato il trimpulso con p e la triforza con f relativi alla sola componente spaziale dello
spaziotempo distinguendoli dal quadrimpulso P e dalla quadriforza F che invece raccolgono anche la
dimensione temporale.
Consideriamo ora che l'assertata ortogonalità tra quadrivelocità e quadriaccelerazione implica l'ortogonalità della
prima anche nei confronti della quadriforza.
F∙U = 0
F0∙U0 − Fi∙Ui
(dmc/dt)γ(u)γc − fiγ(u)γui = 0
d(mc2)/dt = f∙u
dE/dt = f∙u
Quest'ultima relazione viene detta teorema dell'energia. Da esso possiamo trovare una seconda definizione della derivata temporale di γ che avevamo visto essere: dγ/dt = (γ3/c2)(u∙a)
d(m0γc2)/dt = f∙u
dγ/dt = (f∙u)/(m0c2)
Utilizziamo questa nuova formulazione nell'espressione analitica del trivettore spaziale.
fi = dp/dt = d(m0γui) =
m0(dγ/dt)ui + m0γ(dui/dt)
fi = m0(f∙u)/(m0c2)ui + mai
fi = (f∙u/c2)ui + mai
Il trivettore spaziale della forza ricarla la formulazione classica più un termine che dipende dalla velocità
spaziale della particella.
Possiamo qui concludere la trattazione della relatività ristretta.
